快乐的数学（3）

bigice803

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数学与物理的交融
   
    从我读研究生开始，我的研究工作就一直围绕着物理学中出现的几何与拓扑问题。物理学家需要数学作为工具，反过来他们又借助物理理论提出数学上的猜想，虽然物理学家的推导很多时候是不严格的，但是这些猜想往往最后都被证明是正确的。这是非常令人感到惊奇的！
   
    数学和物理学的相互交织造就了科学史上的多次革命，大家熟知的有：微积分与牛顿力学定律；广义相对论与黎曼几何。近年来的大小例子更是层出不穷，如量子场论、弦理论与数学的交融一直是数学研究的主流。这种交融极大地推动了数学的发展。弦理论是最有希望实现爱因斯坦梦想的大统一理论，与数学共同演奏出了最和谐美妙的科学发展篇章。
   
    为了解决物理学家们提出的数学猜想，我们发展了全新的数学理论，发现了不同数学分支之间意想不到的联系。这些数学上的革命又为物理学的继续发展提供了严格的理论基石。
   
    近20年数学菲尔兹奖得主的获奖工作，有一半与量子场论、弦理论有关。无论你研究哪一个方向，总会在弦理论中找到用武之地。而弦论学家们也贪婪和迫不及待地注视着数学中每一点一滴的新进展，迅速地理解并应用到他们的理论中去。这种交流激发了数学与物理学无尽的活力。这也使得我们有理由猜测：上帝根据数学公式创造了世界？但毫无疑问，数学是开启大自然的钥匙。
   
    要指出的是，物理学家对数学的贡献不仅仅限于预测数学结论。很多时候，他们也用严格的数学语言为我们指出数学上重要的研究对象。威滕和瓦法是两位杰出的代表，他们的数学甚至要好过绝大部分数学家。有人形容他们就像从未来时空穿梭回来的一样，只记住了未来数学支离破碎的景象，凭着记忆叙述出来，成了挑战当代数学家的猜测。
     
    数学家威滕先生　
   
    威滕的经历对我们也应该很有启发。他大学时学习历史，还参加过美国总统的竞选写作班子。读研究生时才转到物理系而成为数学物理大师。这样成功的例子在国外很多。著名的拓扑学家瑟斯顿大学读的是生物系。大数学家鲍特大学时专业是工程。还有好几位著名的数学家都是大学二年级开始读研究生。这也是我们的教育体制需要学习的另一个地方——给学生们的兴趣创造条件，不能一次考试定终身。尽管有许多不合理的地方，我知道我们的大学体制正在朝着好的方向改进，学生培养模式也更加自由和灵活。
   
    物理学家学习数学的方式也许值得我们借鉴，威滕他们大概从来不做数学习题，但却用最快的速度学到他们所需要的数学。哈佛大学数学教授陶布斯曾说，“物理学家先学指标理论，然后才是黎曼几何”。这也是“法乎其上”的学习方式。我觉得我们数学家不仅要时刻留意物理学的发展，更要注意物理学家掌握知识的技巧，那就是在研究中学习，在学习中研究。
   
    物理学家特别青睐“无穷”，甚至有时候不惜以牺牲“严格性”作为代价，比如模群对称，大N极限的陈—塞蒙斯理论，路径积分。虽然费曼的路径积分还缺少严格的数学基础，该理论因其物理上的直观性和便于形式演算在现代量子物理中产生了深远的影响。这与微积分的发展有异曲同工之妙。正所谓“妙在无穷，美即有用”。这种不严格也给了他们无穷的想象空间。
     
    数学家瓦法先生
   
    数学上的每一次变革，都离不开新的思想与方法，以及不同分支学科的融会贯通。在历史上方法的本质变革往往使困难的问题变成练习题。无论做哪一门科学我们必须努力跟上并参与大的变革。这就要求我们在掌握丰富知识的基础上更具创造性地思考问题，才能在数学发展的前沿占有一席之地。数学与物理的交互作用无疑将是今后相当长时间里数学研究的主流分支。
   
    作为数学家我们也要时刻关注物理学的发展，我自己还有我的一些合作者与学生都有每天浏览最新数学与物理文献的好习惯。了解物理学家新的想法对我们的数学研究很有帮助。从我的博士论文一直到我现在的几个研究课题都是与理论物理的发展密切相关。
   
    我的博士论文是研究威滕基于量子场论提出的关于指标定理的刚性猜测，而我的证明用的是我从数论中学到的模形式理论，极其简洁而漂亮，其方法也被用于发现一些全新的数学定理。我与丘先生、连文豪一起证明的镜对称猜想，我与刘秋菊、周坚合作证明的马里诺—瓦法猜想，以及我与彭磐一起证明的瓦法等人提出的关于扭结不变量的代数结构与整性的猜想，都是由五种超弦理论间的相互对偶引申出的数学问题，这些猜想给出了无穷多难以计算的数学不变量生成函数完美的表达式和惊人的结构，它们的证明也解决了数学中一些长期悬而未决的问题，是我们单纯从数学角度来看做梦也想不到的。当然我们的证明以及发展的数学理论也为超弦理论作为大统一理论的正确性提供了更加坚实的基础。我相信数学也将很快能够与其他学科，如生物学和医学，有更加深刻和广泛的联系。
   
    知识和技巧哪个更重要？
   
    我去美国留学时，随身只带了两本书，我想在分析与几何领域大展身手，就不需要学习别的了。1988年9月底,我走进丘成桐先生的办公室,开始了我在哈佛的学习生活。他问我，想开始做研究，还是想继续学更多的数学？我回答想开始做研究。丘先生却对我说，“你要尽可能多地学习数学，因为毕业以后要想学什么新东西就不容易了。”他让我学习代数几何、代数数论、几何分析等许多不相关的课程，有许多内容直到今天我仍然无法完全理解。但这却深刻地影响了我的学术生涯和人生轨迹。在当上教授以后，繁重的教学和科研压力让我体会到丘先生的话是多么的语重心长。
   
    知识与技巧，到底哪一个更加重要呢？我的观点是，对年轻人而言，知识更重要！知识让我们站得更高，看到正确的方向，因为方向错了，一切努力都不会有结果。但是也要承认，研究中关键的突破往往来自于技巧上的创新。做个比喻，一个武林高手，学了很多门派的武功，但是内功不行，就容易走火入魔。大家知道丘先生在众多数学领域都有开创性工作，得益于他极强的分析功底及广博的知识面。现在国内热衷的中学生数学竞赛，就太过于强调技巧，而忽略了更重要的知识。
   
    其实我们的学生从中学开始就应该接受多方面知识的熏陶，让孩子多看名人传记，培养对科学的好奇心才是上上之策。我最近读的牛顿传记就写得非常精彩。正是由于好奇心，牛顿大学二年级给自己提出了几十个有关大自然的问题，为了解决它们，他发展了微积分作为基础，进而发展了三大物理定律。爱因斯坦说过，“想象力比知识更重要”。可是没有深厚的知识底蕴，想象力也只能是空中楼阁。想象力就是将各种知识融会贯通而激发出的火花。所谓“天才”，就是脑袋里时刻放着七八个问题，在阅读文献，与同行交流的同时，不断用新学到的技巧和方法来分析这些问题，看能否找到突破，只要用心坚持，不断积累，总能解决掉其中两三个问题，那么别人就会觉得你是天才了。
   
    如果你还是无法确信什么是好的数学，那么就去读大数学家的著作和文章，跟着大师走总是没错的，因为他们之所以成为大师，就是因为他们选择了正确的研究方向。在读书过程中要注意培养自己对数学的鉴赏能力，发展属于自己的技巧。后来在我研究中成为重要工具的局部化思想就是在国内学习与做硕士论文期间掌握的，当时是受威滕、鲍特等大师的文章启发。后来我用局部化思想来理解我所学到的一切数学知识，就像用一根线串起了许多珠子，有融会贯通的感觉。而我研究生涯的第一步正是得益于广泛的知识积累，把数论的知识用到了拓扑之中。在研究的过程中，我也更加深了对所学知识的理解。哈佛几年的学习，我觉得最重要的收获是开阔了眼界，提高了对“好的数学”的感觉和把握能力。“研究”的英文单词“research”，就是反复寻找，很好地体现了研究的本质。研究一个问题，要首先知道什么是已知的，什么是未知的，确定什么是需要自己努力创新的。丘成桐与杨振宁先生都有常在图书馆翻阅杂志的好习惯，不求懂，只为见多识广。丘先生更以“好读书，而不求甚解”作为广泛猎取知识的好方法。与其他学科一样，数学的每一点进步都是建立在前人工作基础之上的。可谓“开卷有益”！
   
    杭州是个圆梦的地方
   
    2003年6月我来到杭州，成为浙江大学数学研究中心常务主任与数学系主任。上任时，丘先生对我和浙大领导说，我们办数学中心就要办世界第一流的，否则我们宁可不办。为此我工作的第一步就是要努力与世界的数学发展接轨，然而我的管理与研究理念却经常与国内的一些传统观念有冲突，常常要为此付出成倍的努力。另外，由于社会上对于数学和数学家的各种成见，也很难招收到优秀的学生。当时的数学中心只是一幢空空的大楼，举办学术活动也经常为没有学生来听而发愁。我们从一点一滴做起，五年来通过大量世界一流的学术活动，吸引了包括霍金、威滕、格罗斯等大批国际一流数学和物理学家来访。更有哈佛的教授斯图明格带领其学术团队来中心访问半年，开拓了国内数学界，特别是浙大师生们的国际视野。与哈佛学生的朝夕相处也增强了数学中心学生们的自信心。
   
    经过五年的努力，浙大数学中心已经成为举世闻名的数学研究机构，数学系也成为国内最强的数学系之一。现在的数学中心已是由上百位教授、博士后、研究生与大学生组成的著名国际数学中心。这几年我们引进培养了一批优秀的青年数学家，包括国外名校，如麻省理工学院的毕业生，有的已经取得了世界一流的成果。许多世界名校的数学系，如哈佛、哥伦比亚、伯克莱、UCLA也更加关注并录取我们数学系和数学中心的学生。今年哥伦比亚就一下子录取了七位浙大数学学科的学生，这对浙大，对哥伦比亚都是史无前例的。五年来，我努力在数学中心为学生们营造我当年在哈佛的学习与研究氛围，这种努力已经开花结果。数学中心已经形成了良好的学术氛围，正逐渐成为中国数学的黄埔军校。杭州五年是我值得自豪的五年。几年的学习生活，我与杭州，与数学中心学生们的感情也越来越深。
     
    C alabi-丘空间
   
    杭州是个激发灵感的城市，既有美丽的西湖，也有深厚的文化底蕴。这几年，杭州给了我许多宝贵的人生历练。在我自己的研究工作上，五年来我与朋友学生们合作解决了几个著名的猜想。除了马里诺—瓦法猜想、丘成桐几何度量猜想，最近我与我的学生与朋友彭攀完成了瓦法等四位著名超弦学家提出的一个著名猜想的证明。此猜想给出了扭结不变量全新的代数结构与无穷多新的整数不变量。这是弦对偶理论中重要的猜想之一，把陈省身先生的陈—西蒙斯理论与丘成桐先生的卡拉比—丘流形的拓扑弦理论两个不同的理论完全等同起来。
   
    今年我在杭州破格录取的博士生徐浩，与我一起发现并证明了模空间中著名的法波猜想。美国著名的克雷数学研究所与加拿大班福数学研究所曾经专门为此猜想举办了一周的研讨班，全世界40余名著名专家到会，足见此猜想的重要性。而就在这个国际研讨会举办前两天，与会专家们了解到中国浙江大学数学中心新近解决了这个世界著名猜想，这引起了国际数学界的震惊。徐浩的求学和研究经历也让我对中国数学的未来更加有信心。
   
    学生们的成功是我这几年来最引以为傲的成绩，他们也极大地促进了我的学习与研究。我自己和我的学生们这几年在杭州的研究与生活经历也说明，国内的数学已经具备了走向世界一流的条件。这些优秀的学生让我自信浙大数学在未来的几年内会更加辉煌。我坚信不久的将来，中国将成为数学强国。我们也正在为这个梦想的实现而不懈地努力。
   
    做数学家是很快乐的，做着自己喜爱的事情而且衣食无忧。数学家对整个社会和人们的日常生活都有很大的贡献。从计算机、互联网，到生命科学、金融业，处处可见数学的踪影。尽管目前在美国找工作不容易，华尔街还招大量的数学系毕业生，培训三个月就能胜任。诺贝尔经济学奖获得者中也有好几位是数学家。在生物学界也有数学出身的诺贝尔奖获得者。好的数学基础可以为未来的事业发展提供更加广阔的空间。
   
    对我而言，我想象不出一个更好的职业。我们可以在任何时候，任何地方与自己的朋友谈论我们喜欢的数学问题。数学就像是我们不离不弃的老朋友，一个人对数学的热爱与真诚总会得到回报，那就是美好与永恒的定理，还有稳定而快乐的生活。爱因斯坦说，政治是暂时的，公式是永远的。我想，上帝应该是个数学家，因为大自然规律的最终和最完美的表达一定是数学方程式。证明一个漂亮的数学定理和公式往往令我们感到非常的愉悦和满足。不少朋友都说我已经功成名就，可以悠闲地采菊东篱下了。可我却觉得我的研究生涯才刚刚起步，有更好的定理在等着我呢。我现在最大的愿望就是多证明几个美妙的数学定理，多带出几个能做出世界一流成果的学生。作为老师，最开心的就是看到自己的学生们成长为一流的数学家。我现在尽我所能地帮助我的学生们实现他们人生的梦想，就像当年丘成桐先生、王启明先生帮助我一样。
   
    二十几年来，数学帮助我实现了我所有的梦想，它已经成了我生命的一部分，是数学的魅力在牵着我走。几十年与数学朝夕相伴，我对数学有了更深的体会。我觉得从某种意义上讲，数学就是人生的一种感觉，这种感觉只有在宽阔的知识海洋里徜徉才能欣赏得到，这种难以言状的美妙感觉真是好啊！